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領(lǐng)悟10種數(shù)學(xué)思維，從此不怕數(shù)學(xué)！

心理學(xué)家馬克思韋爾·馬爾茨說：“所有人都是為成功而降臨到這個(gè)世界上，但是有的人成功了，有的人沒有，那是因?yàn)槊總€(gè)人使用大腦的方法不同?！?/p>

雖然每個(gè)人都有思維，但是思維的質(zhì)量有差別，思維的質(zhì)量直接影響人們做事的質(zhì)量和生活的質(zhì)量，決定了一個(gè)人是富有還是貧窮，是健康還是多病，是強(qiáng)大還是弱小，是幸福還是不幸。高質(zhì)量的思維可以保證生活各個(gè)領(lǐng)域都朝著我們期望的方向發(fā)展，不良的思維習(xí)慣則會(huì)讓我們付出巨大的代價(jià)，包括經(jīng)濟(jì)上和精神上的代價(jià)。

我國著名思想家楚漁，在其《中國人的思維批判》一書指出，導(dǎo)致中國落后的根本原因是傳統(tǒng)的思維模式。他說，一百多年前我們蒼白地復(fù)制西方人當(dāng)時(shí)的創(chuàng)造，一百多年后我們?nèi)匀辉谏n白地復(fù)制西方人現(xiàn)在的創(chuàng)造。因?yàn)槲覀兊乃季S方式落后了，使得我們既不能理解西方文化的精髓，也不能很好地傳承和發(fā)展我們中華文化中的優(yōu)良傳統(tǒng)。

比如，中國有一則寓言叫《愚公移山》，西方也有一則寓言叫《明羅移山》。他們的處境一樣，都住在大山里，被兩座大山擋住了去路。中國老愚公的辦法是動(dòng)員全家，拿起鋤頭，挖山不止，而且準(zhǔn)備一代代挖下去；老外明羅，他們是選擇向?qū)＜仪蠼獭＜医ㄗh：搬出山去，另找一個(gè)適合自己居住的地方。這樣既保護(hù)了環(huán)境又節(jié)省了勞動(dòng)力，兩全其美。

一樣的境遇，不一樣的選擇，結(jié)果可想而知。也就是說，擁有先進(jìn)的思維方式才能在面對(duì)繁雜的事務(wù)和困難的問題時(shí)應(yīng)對(duì)自如，才能更好地學(xué)習(xí)、工作和生活。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中同樣有許許多多先進(jìn)的思維方式，培養(yǎng)和擁有這些思維方式，有利于快速準(zhǔn)確地解決數(shù)學(xué)問題，提升學(xué)習(xí)興趣和自信心，以及抓問題本質(zhì)的能力。同時(shí)，也可以幫助我們應(yīng)對(duì)那些數(shù)學(xué)思維水平要求極高的數(shù)學(xué)杯賽。

以下是我結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，從眾多的思維中歸納總結(jié)和提煉出來的10種數(shù)學(xué)思維，希望對(duì)家長在指導(dǎo)孩子學(xué)習(xí)時(shí)有所助益：

第一種轉(zhuǎn)化思維

第二種邏輯思維

第三種逆向思維

第四種對(duì)應(yīng)思維

第五種假設(shè)思維

第六種類比思維

第七種創(chuàng)新思維

第八種系統(tǒng)思維

第九種形象思維

第十種靈感思維

轉(zhuǎn)化思維——他山之石可以攻玉

●轉(zhuǎn)化思維的現(xiàn)狀

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，以章和節(jié)形式出現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)是明線，連接所有章和節(jié)的數(shù)學(xué)思想方法是暗線。

數(shù)數(shù)知識(shí)是學(xué)生學(xué)習(xí)的主要目標(biāo)，也是評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)好壞的重要依據(jù)。數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)生學(xué)習(xí)的調(diào)味品，由于不系統(tǒng)，老師水平參差不齊，學(xué)生學(xué)完后的感覺如同只見樹木，不見森林，沒有全局觀。

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)涵蓋了計(jì)算、圖形和實(shí)際應(yīng)用三大類問題。這三種問題中應(yīng)用題最棘手。其中一步應(yīng)用題是屬于最直白類型的，直接列算式寫得數(shù)，而多步應(yīng)用題往往不是直接通向問題的，它需要我們從給出的條件中得到新的信息，再逐步轉(zhuǎn)化得到問題的最終答案。很多學(xué)生失敗也就在這里，看到陌生問題就放棄或直接求助于家長。實(shí)際上，轉(zhuǎn)化思維出了問題。

【例】：用簡便方法計(jì)算 19×27＋190×5＋19×23

分析：這題可看成是由3個(gè)小算式構(gòu)成的大算式，且每個(gè)小算式中都是兩個(gè)數(shù)相乘的形式，這種特點(diǎn)比較適用于乘法分配律的逆用。要想逆用乘法分配律，3個(gè)算式中得有相同的數(shù)，而這個(gè)題中沒有，所以先要轉(zhuǎn)化。

解：原式＝19×27＋19×10×5＋19×23

＝19×27＋19×50＋19×23

＝19×（27＋50＋23）

＝19×100

＝1900

●轉(zhuǎn)化思維的定義

轉(zhuǎn)化思維，是指在解決問題的過程中遇到障礙時(shí)，通過改變問題的方向，從不同的角度，在分析理解題意的基礎(chǔ)上把問題轉(zhuǎn)化成與它相近或?qū)Φ鹊膯栴}，尋求最佳方法，使問題變得更簡單、更清晰。

【例】有黑白兩種棋子共300枚，按每堆3枚分成100堆，其中只有1枚白子的共27堆；有2枚或3枚黑子的共42堆；有3枚白子與有3枚黑子的堆數(shù)相等。那么在全部棋子中，白子共有多少枚？

分析：

（1）只有一枚白子的堆數(shù)＝有2枚黑子的堆數(shù)＝27

（2）有2枚或3枚黑子一共的堆數(shù)＝只有一枚白子與有0枚白子一共的堆數(shù)＝42，有0枚白子的堆數(shù)＝有3枚黑子的堆數(shù)＝42－27＝15

（3）有3枚白子的堆數(shù)＝有3枚黑子的堆數(shù)＝15

解：有0枚白子的堆數(shù)＋有1枚白子的堆數(shù)＋有2枚白子的堆數(shù)＋有3枚白子的堆數(shù)＝100

有2枚白子的堆數(shù)＝100－15－27－15＝43（堆）

白子的枚數(shù)＝15×0＋27×1＋43×2＋15×3＝158（枚）

●轉(zhuǎn)化思維的幾個(gè)方面

1、要素與要素的轉(zhuǎn)化

①數(shù)與數(shù)的轉(zhuǎn)化：這種轉(zhuǎn)化方法在計(jì)算類型的題目中比較常見。如在進(jìn)行加減法巧算時(shí)，會(huì)用到一種看成整數(shù)的方法，這種方法只改變了原數(shù)的形式，在結(jié)果上面卻是對(duì)等的。在高年級(jí)，分?jǐn)?shù)、小數(shù)的四則混合運(yùn)算及巧算中，通常會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)與小數(shù)互化的情況。

【例】9999×2222＋3334×3333

題意理解：

（1）算式中沒有相同的數(shù)，無法直接使用乘法分配律

（2）算式中9999與3333是3倍的關(guān)系

巧妙求解： 原式＝3333×3×2222＋3334×3333

＝3333×6666＋3334×3333

＝3333×（6666＋3334）

＝3333×10000

＝33330000

②形與形的轉(zhuǎn)化：這種轉(zhuǎn)化方法在解決圖形問題時(shí)比較常見。一般形與形的轉(zhuǎn)化會(huì)涉及到的方法有：三角形等底等高的性質(zhì)，四邊形中的等積變形、蝴蝶定理、燕尾定理的方法，圓形中的重疊法、旋轉(zhuǎn)法、割補(bǔ)法等。通過這些方法，能夠很直觀地把原來的圖形轉(zhuǎn)化成容易求的圖形。

【例】如下圖，ABCD是邊長為8厘米的正方形，梯形AEBD的對(duì)角線相交于O，三角形AOE的面積比三角形BOD的面積小16平方厘米，梯形AEBD的面積是多少平方厘米？

題意理解：

（1）S正方形ABCD＝8×8＝64 cm2 AE∥BD

（2）S△BOD－S△AOE=16cm2

S△BOD＋S△AOD－（S△AOE＋S△AOD）＝16 cm2

（3）S梯形AEBD＝S△AEB ＋S△ABD

（4）通過分析，問題轉(zhuǎn)化成求△AED與△ABD的面積和。

巧妙求解：

S△BOD－S△AOE=16cm2

S△ABD－S△AED=16cm2

S△ABD=8×8÷2=32cm2

S△AED=16cm2=S△AEB

S梯形AEBD=16+32=48cm2

③數(shù)與形的轉(zhuǎn)化：這種轉(zhuǎn)化方法在解決行程問題時(shí)比較常見。通過圖形展示復(fù)雜的條件，通過數(shù)據(jù)進(jìn)行周密的推理，最終達(dá)到解決問題的目的。

【例】甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地相向而行，在距A地80千米處相遇，相遇后兩車?yán)^續(xù)前進(jìn)，甲車到達(dá)B地、乙車到達(dá)A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米處相遇。求A、B兩地間的路程。

換個(gè)角度想一想：畫圖把甲乙兩車的運(yùn)動(dòng)過程形象化，求出甲車走的路程。

巧妙求解：

8×3＝240（千米）

240－60＝180（千米）

答：A、B兩地間的路程是180千米。

2、知識(shí)與知識(shí)的轉(zhuǎn)化

①橫向轉(zhuǎn)化：即知識(shí)點(diǎn)之間的遷移，這種轉(zhuǎn)化方法在解決角度問題、按比例分配問題中較為常見。

【例】在下圖中，∠A, ∠B, ∠C, ∠D,∠E,∠F和∠G的度數(shù)和是多少？

題意理解：

（1）∠1＋∠2＋∠E＝∠3＋∠4＋∠F＝∠5＋∠6＋∠G＝∠7＋∠8＋∠A＝∠9＋∠10＋∠B＝∠11＋∠12＋∠C＝∠13＋∠14＋∠D＝180

（2）七邊形QRSTMNP的內(nèi)角和為：180°×（7－2）＝900°

（3）∠1＝∠14 ∠2＝∠3 ∠4＝∠5 ∠6＝∠7 ∠8＝∠9 ∠10＝∠11 ∠12＝∠13

（4）∠A＋∠B＋ ∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝180°×7－（∠1＋……＋∠14）＝180°×7－2×（∠1＋∠2＋∠4＋∠6＋∠8＋∠10＋∠12）

（5）通過分析，問題就轉(zhuǎn)化成求∠1＋∠2＋∠4＋∠6＋∠8＋∠10＋∠12的角度和。

巧妙求解：

七邊形QRSTMNP的內(nèi)角和＝180°－∠1＋180°－∠2＋180°－∠4＋180°－∠6＋180°－∠8＋180°－∠10＋180°－∠12＝180°×7－（∠1＋∠2＋∠4＋∠6＋∠8＋∠10＋∠12）＝900° 即∠1＋∠2＋∠4＋∠6＋∠8＋∠10＋∠12＝180°×7－900°＝360°

所以∠A＋∠B＋ ∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝180°×7－2×（∠1＋∠2＋∠4＋∠6＋∠8＋∠10＋∠12）＝180°×7－2×360°＝540°

②縱向轉(zhuǎn)化：即對(duì)已知的條件進(jìn)行深度分析，找出隱藏的信息。這種轉(zhuǎn)化方法在解決和差倍問題、盈虧問題、數(shù)論問題、物體的體積、抽屜問題、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題方面比較常見。

【例】某校有20個(gè)班，平均每個(gè)班46人，老師讓每個(gè)同學(xué)用1991這4個(gè)數(shù)字中的1個(gè)或幾個(gè)任意寫出一個(gè)自然數(shù)。那么，至少有多少人寫的數(shù)相同？

題意理解：

（1）學(xué)校一共有20×46＝920人。

（2）所有寫出的自然數(shù)可以分成一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)和四位數(shù)

（3）通過分析，可以把列舉出的自然數(shù)的個(gè)數(shù)看做抽屜，再根據(jù)抽屜原理進(jìn)行解答。

巧妙求解：用1991中的一個(gè)或幾個(gè)任意寫出的自然數(shù)可以分類為：

①一位數(shù)：1、9 2個(gè)

②二位數(shù)：11、99、19、91 4個(gè)

③三位數(shù)：111、999、119、991、191、919 6個(gè)

④四位數(shù)：1991、1919、1199、9911、9191、9119 6個(gè)

不同的寫法一共：2＋4＋6＋6＝18（個(gè)）

把18種不同的寫法看成18個(gè)抽屜，又920＝18×51＋2

所以，至少有52人寫的數(shù)相同。

3、知識(shí)與實(shí)際的轉(zhuǎn)化

①生活問題數(shù)學(xué)化：即在生活問題的基礎(chǔ)上建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，再用數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)的方法去解決。

【例】某蔬菜公司收購到某種蔬菜104噸，準(zhǔn)備加工后上市銷售。該公司加工該種蔬菜的能力是：每天可以精加工4噸或粗加工8噸。現(xiàn)計(jì)劃用16天正好完成加工任務(wù)，則該公司應(yīng)安排幾天精加工，幾天粗加工？

題意理解：

（1）精加工天數(shù)＋粗加工天數(shù)＝16

（2）精加工噸數(shù)＋粗加工噸數(shù)＝104

巧妙求解：設(shè)該公司安排X天粗加工，安排Y天精加工。則：

X＋Y＝16

8X＋4Y＝104

解得：X＝10，Y＝6

答：該公司安排10天粗加工，安排6天精加工。

②數(shù)學(xué)問題生活化：即在生活中找到數(shù)學(xué)知識(shí)的源頭，在生活中體驗(yàn)數(shù)學(xué)問題和道理的本質(zhì)。

【例】解釋什么是相遇問題。

①相遇問題的情境導(dǎo)入：一個(gè)同學(xué)將同桌的作業(yè)不小心帶回家了，怎么辦？

貼近標(biāo)題的解決方案：打電話約好，兩人同時(shí)從家出發(fā)。

②相遇問題的要素引入：兩位同學(xué)現(xiàn)場表演，說開始后，同時(shí)出發(fā)，最后相遇。根據(jù)演示過程引導(dǎo)學(xué)生說出相遇路程是什么，兩人行走的時(shí)間有什么關(guān)系。

③相遇路程的求法導(dǎo)入：在線段圖上標(biāo)上兩人的速度，引導(dǎo)先分步后綜合求相遇路程，最后再總結(jié)相遇路程的公式。

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